दर्शाइये कि एक विषम धनात्मक पूर्णांक का वर्ग किसी पूर्णांक q के लिए 8k + 1 के रूप का होता है

Darshaeye ki ek visham dhanatmak poornik ka varg kisi poornik q ke liye 8k + 1 ke roop ka hota hai

एक विषम धनात्मक पूर्णांक का वर्ग हमेशा 8q + 1 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहां q एक पूर्णांक है। साबित करने के लिए, हम एक विषम धनात्मक पूर्णांक n लेते हैं। हमने पहले ही दिखाया है कि n को हमेशा 4q + 1 या 4q + 3 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहां q एक पूर्णांक है।

दर्शाइये कि एक विषम धनात्मक पूर्णांक का वर्ग किसी पूर्णांक q के लिए 8k + 1 के रूप का होता है। साबित करने के लिए, हम एक विषम धनात्मक पूर्णांक n लेते हैं। हमने पहले ही दिखाया है कि n को हमेशा 4q + 1 या 4q + 3 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहां q एक पूर्णांक है। मामला 1: यदि n = 4q + 1 है, तो हमें इसका वर्ग निकालना होगा: n² = (4q + 1)² = 16q² + 8q + 1 = 8(2q² + q) + 1 मामला 2: यदि n = 4q + 3 है, तो हमें इसका वर्ग निकालना होगा: n² = (4q + 3)² = 16q² + 24q + 9 = 8(2q² + 3q + 1) + 1 दोनों मामलों में, हमने दिखाया है कि n² को हमेशा 8q + 1 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहां q एक पूर्णांक है। इसलिए, हमने दिखाया है कि एक विषम धनात्मक पूर्णांक का वर्ग हमेशा 8q + 1 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहां q एक पूर्णांक है।

मामला 1: यदि n = 4q + 1 है, तो हमें इसका वर्ग निकालना होगा: n² = (4q + 1)² = 16q² + 8q + 1 = 8(2q² + q) + 1 मामला 2: यदि n = 4q + 3 है, तो हमें इसका वर्ग निकालना होगा: n² = (4q + 3)² = 16q² + 24q + 9 = 8(2q² + 3q + 1) + 1 दोनों मामलों में, हमने दिखाया है कि n² को हमेशा 8q + 1 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहां q एक पूर्णांक है। इसलिए, हमने दिखाया है कि एक विषम धनात्मक पूर्णांक का वर्ग हमेशा 8q + 1 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहां q एक पूर्णांक है।

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उदहारण 3.दर्शाइये की कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 4q+1 या 4q+3 के रूप का होता है। दर्शाइए की कोई भी धनात्मक विषम पूर्णाक 6q + 1 या 6q + 3 या 6q + 5 के रूप का होता है